La méthode d'Euler appliquée à la physique


La méthode d'Euler permet de tracer pas à pas une approximation de la courbe représentative d'une fonction.
Pour cela, il suffit de connaître :

En physique, on appliquera cette méthode

1. Application à l'électricité

Un condensateur est initialement déchargé.
On le place en série avec une résistance R aux bornes d’un générateur délivrant une tension E = 5.0V.
La constante de temps du circuit est τ = RC = 0,1s.
L’équation différentielle de la charge est alors:

 

1.1 Etude à t = 0

que vaut uC(0) ?

le condensateur est déchargé donc uC(0) = 0

Que vaut la dérivée de uC par rapport au temps ?

D'après l'équation différentielle :

  Que représente-t-elle pour la courbe uC=f(t)?

Le coefficient directeur (noté a ) de la tangente à la courbe uC=f(t) à la date t= 0
Donc a(t=0) = 50V/s

En déduire une valeur approchée de uC à la date t = 0.01s.


(sur le graphe, la droite verte représente la tangente à la date t = 0.)

  

1.2 Etude à t = 0.01s

Que vaut la dérivée de uC par rapport au temps ?

D'après l'équation différentielle : 

Que représente-t-elle pour la courbe uC=f(t)?

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe uC=f(t) à la date t= 0.01s  que l'on  note a(t=0,01)

En déduire une valeur approchée de uC à la date t = 0.02s.
 

(sur le graphe, la droite orange représente la tangente à la date t = 0.01s)


1.3 Etude à t = 0.02s

Que vaut la dérivée de uC par rapport au temps ?

D'après l'équation différentielle :  

Que représente-t-elle pour la courbe uC=f(t)?

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe uC=f(t) à la date t= 0.02s

En déduire une valeur approchée de uC à la date t = 0.03s.

etc, etc.............


1.4 Utilisation d'un tableur

Rentrer les titres de colonnes, la valeur de uC=f(t) à la date t= 0.s

Rentrer la formule permettant de calculer la dérivée.




Rentrer la formule permettant de calculer t avec un pas de 0.01s.


puis la formule permettant de calculer uC(t), connaissant la valeur de uC précédente.



Recopier les cellules:

         et     

1.5 Résultats


La courbe rose représente la fonction : uc = 5(1-e(-t/t))  
La courbe bleue est la courbe obtenue avec la méthode d'Euler et un pas de 0,01s
La courbe verte est la courbe obtenue avec la méthode d'Euler et un pas de 0,07s

on voit que la courbe obtenue avec un pas de 0,01 s correspond à la courbe théorique. Par contre, lorsque le pas est trop grand, la courbe obtenue ne correspond plus.

2. Application à la mécanique

Le but de cette séance est, à partir de données expérimentales, de valider un modèle de la force de frottement fluide. ( fichier tableur élève )

2.1 Chute d'une bille

1)  Etude dynamique

On se place dans le référentiel terrestre, galiléen.
Le solide est soumis à :
·    Son poids 
·    La poussée d’Archimède   (V : volume du solide et ρ0 : masse volumique du fluide)
·    La force de frottement 
On applique la seconde loi de Newton :                           
On projette sur l’axe Oz :
        ou    
En posant   , cela devient :            
A ne dépend que de V, m et ρ0 qui sont connues.

2)  Exploitation des résultats

A partir des données, calculer A. ( air : ρ0 = 1,3 g/L = 1,3 kg.m-3)

Tracer la courbe expérimentale v = f (t) en utilisant les données du fichier en utilisant une représentation en nuage de points.

               

Déterminer graphiquement la valeur de la vitesse limite:

 vlim = 2,85  m.s-1  ( à la réflexion, cette valeur semble irréaliste! 3 chiffres significatifs avec aussi peu de précision, il faut oser!)

2. 2  Recherche de l'expression de la force de frottement

1)  Hypothèse 1: f = k.v

L’équation  1:    devient :    

Détermination de B:
Lorsque v= vlim, la vitesse est constante donc  
D’après l’équation 2,      

Déterminer la valeur de B.

 

a) Méthode d’Euler

Par approximations successives :

On fixe v0
On calcule l’accélération a0 avec la formule 2. : a0 = A – B v0
Ensuite on calcule la vitesse à la date t1 : v1= v0 +a0. Δt
Puis on calcule a1 avec la formule 2 : a1 = A – B v1………………….

b) Dans le fichier Excel :

Prendre un pas Δt  judicieux.

Δt = 0,05 s

Prendre v = 0 à la date t =0
Calculer l’accélération a0



      

etc....

Tracer v en fonction du temps sur le même graphe que précédemment  ( cliquer droit sur le graphe, « données source » ajouter série…)


3) Observations

Y a-t-il accord entre la courbe expérimentale  et la courbe théorique correspondant à
f = kv?

La courbe réelle est éloignée de la courbe obtenue avec l’hypothèse f = k v


2) Hypothèse 2: f = k v²

L’équation différentielle    devient :    
Quand a = 0  (v= vlim), il vient    .

Déterminer  C


a) Méthode d’Euler

Par approximations successives : On fixe v0
On calcule l’accélération a0 avec la formule 2. : a0 = A – B v02
Ensuite on calcule la vitesse à la date t1 : v1= v0 +a0. Δt
Puis on calcule a1 avec la formule 2 : a1 = A – B v12

b) Dans le fichier Excel :

Calculer l’accélération a et la vitesse v.




 
etc......

Tracer v en fonction du temps sur le même graphe que précédemment 

 

La courbe obtenue suit bien la courbe réelle.

 c) Conclusion

Quelle est l’expression de la force f qui correspond le mieux à la chute étudiée ?

L’expression à retenir est f = k v²