La méthode d'Euler appliquée à la physique

La méthode d'Euler permet de tracer pas à pas une approximation de la courbe représentative d'une fonction.
Pour cela, il suffit de connaître :

la valeur de la fonction à une date ( en général l'origine des temps t = 0 )
l'équation différentielle liant la fonction et sa dérivée .

En physique, on appliquera cette méthode

à la radioactivité
à l'électricité ( régimes transitoires dans les circuits électriques)
à la mécanique

1. Application à l'électricité

Un condensateur est initialement déchargé.
On le place en série avec une résistance R aux bornes d’un générateur délivrant une tension E = 5.0V.
La constante de temps du circuit est τ = RC = 0,1s.
L’équation différentielle de la charge est alors:

1.1 Etude à t = 0

que vaut u_C(0) ?

le condensateur est déchargé donc u_C(0) = 0

Que vaut la dérivée de u_C par rapport au temps ?

D'après l'équation différentielle :

Que représente-t-elle pour la courbe u_C=f(t)?

Le coefficient directeur (noté a ) de la tangente à la courbe u_C=f(t) à la date t= 0
Donc a_(t=0) = 50V/s

En déduire une valeur approchée de u_C à la date t = 0.01s.

(sur le graphe, la droite verte représente la tangente à la date t = 0.)

1.2 Etude à t = 0.01s

Que vaut la dérivée de u_C par rapport au temps ?

D'après l'équation différentielle :

Que représente-t-elle pour la courbe u_C=f(t)?

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe u_C=f(t) à la date t= 0.01s que l'on note a_(t=0,01)

En déduire une valeur approchée de u_C à la date t = 0.02s.

(sur le graphe, la droite orange représente la tangente à la date t = 0.01s)

1.3 Etude à t = 0.02s

Que vaut la dérivée de u_C par rapport au temps ?

D'après l'équation différentielle :

Que représente-t-elle pour la courbe u_C=f(t)?

Le coefficient directeur de la tangente à la courbe u_C=f(t) à la date t= 0.02s

En déduire une valeur approchée de u_C à la date t = 0.03s.

etc, etc.............

1.4 Utilisation d'un tableur

Rentrer les titres de colonnes, la valeur de u_C=f(t) à la date t= 0.s

Rentrer la formule permettant de calculer la dérivée.

Rentrer la formule permettant de calculer t avec un pas de 0.01s.

puis la formule permettant de calculer u_C(t), connaissant la valeur de u_C précédente.

Recopier les cellules:

1.5 Résultats

La courbe rose représente la fonction : u_c = 5(1-e^(-t/t))
La courbe bleue est la courbe obtenue avec la méthode d'Euler et un pas de 0,01s
La courbe verte est la courbe obtenue avec la méthode d'Euler et un pas de 0,07s

on voit que la courbe obtenue avec un pas de 0,01 s correspond à la courbe théorique. Par contre, lorsque le pas est trop grand, la courbe obtenue ne correspond plus.

2. Application à la mécanique

Le but de cette séance est, à partir de données expérimentales, de valider un modèle de la force de frottement fluide. ( fichier tableur élève )

2.1 Chute d'une bille

1) Etude dynamique

On se place dans le référentiel terrestre, galiléen.
Le solide est soumis à :
· Son poids

· La poussée d’Archimède

(V : volume du solide et ρ₀ : masse volumique du fluide)
· La force de frottement

On applique la seconde loi de Newton :

On projette sur l’axe Oz :

En posant

, cela devient :

A ne dépend que de V, m et ρ₀ qui sont connues.

2) Exploitation des résultats

A partir des données, calculer A. ( air : ρ₀ = 1,3 g/L = 1,3 kg.m^-3)

Tracer la courbe expérimentale v = f (t) en utilisant les données du fichier en utilisant une représentation en nuage de points.

Déterminer graphiquement la valeur de la vitesse limite:

v_lim = 2,85 m.s^-1 ( à la réflexion, cette valeur semble irréaliste! 3 chiffres significatifs avec aussi peu de précision, il faut oser!)

2. 2 Recherche de l'expression de la force de frottement

1) Hypothèse 1: f = k.v

L’équation 1:

devient :

Détermination de B:
Lorsque v= v_lim, la vitesse est constante donc

D’après l’équation 2,

Déterminer la valeur de B.

a) Méthode d’Euler

Par approximations successives :

On fixe v₀.
On calcule l’accélération a₀avec la formule 2. : a₀ = A – B v₀
Ensuite on calcule la vitesse à la date t₁ : v₁= v₀ +a₀. Δt
Puis on calcule a₁ avec la formule 2 : a₁ = A – B v₁………………….

b) Dans le fichier Excel :

Prendre un pas Δt judicieux.

Δt = 0,05 s

Prendre v = 0 à la date t =0
Calculer l’accélération a₀

etc....

Tracer v en fonction du temps sur le même graphe que précédemment ( cliquer droit sur le graphe, « données source » ajouter série…)

3) Observations

Y a-t-il accord entre la courbe expérimentale et la courbe théorique correspondant à
f = kv?

La courbe réelle est éloignée de la courbe obtenue avec l’hypothèse f = k v

2) Hypothèse 2: f = k v²

L’équation différentielle

devient :

Quand a = 0 (v= v_lim), il vient

Déterminer C

a) Méthode d’Euler

Par approximations successives : On fixe v₀.
On calcule l’accélération a₀avec la formule 2. : a₀ = A – B v₀²
Ensuite on calcule la vitesse à la date t₁ : v₁= v₀ +a₀. Δt
Puis on calcule a₁ avec la formule 2 : a₁ = A – B v₁²

b) Dans le fichier Excel :

Calculer l’accélération a et la vitesse v.

etc......

Tracer v en fonction du temps sur le même graphe que précédemment

La courbe obtenue suit bien la courbe réelle.

c) Conclusion

Quelle est l’expression de la force f qui correspond le mieux à la chute étudiée ?

L’expression à retenir est f = k v²