Ph 2.3   Interprétation ondulatoire des modes propres


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1.Réflexion d’une onde sur un obstacle fixe :

1.1Réflexion d’une onde progressive non périodique sur un obstacle

Une corde élastique est attachée à un obstacle fixe.
Une petite perturbation est produite à l’autre extrémité.
Ouvrir le fichier  (merci au collègue!!) et répondre aux questions suivantes :
Que se passe-t-il au niveau de l’obstacle ?
L’onde incidente se réfléchit
Quels sont la direction et le sens de propagation de l’onde réfléchie ? Quelle est sa vitesse ?
L’onde réfléchie a la même direction de propagation que l’onde incidente. Le sens de propagation est opposé.
Qu’observe-t-on pour la forme de l’onde réfléchie ?
Si l’obstacle est fixe : L’onde réfléchie est inversée.
Si l’obstacle est libre : l’onde réfléchie a la même forme que l’onde incidente.    

1.2 Réflexion d’une onde progressive périodique sinusoïdale sur un obstacle:

Ouvrir le fichier (ondes stationnaires)   et répondre aux questions suivantes :

Qu’observe-t-on pour l’onde progressive réfléchie :
L’onde réfléchie a même direction de propagation mais sens opposé que l’onde incidente. Elle a la même période ( donc même fréquence ).
Dans le cas d’un obstacle fixe ?
elle est inversée
Dans le cas d’une extrémité libre ?
elle a la même forme  que l’onde incidente. 

1.3 Onde stationnaire :

1) Superposition de 2 ondes progressives non périodiques:

Ouvrir le fichier ( superposition de 2 ébranlements)   :

Observer le mouvement du point sollicité par 2 ondes se propageant en sens inverse
La déformation subie par le point est la somme des 2 déformations qui se superposent :
obstacle libre : l’élongation du point a une amplitude supérieure à celle dûe à une seule onde. obstacle fixe : l’élongation du point a une amplitude inférieure (voire nulle!), à celle dûe à une seule onde.    

2) Superposition d’une onde progressive périodique sinusoïdale et de l’onde réfléchie

Ouvrir le fichier ( ondes stationnaires)  et observer la corde soumise à la superposition d’une onde progressive sinusoïdale de fréquence f et de l’onde réfléchie sur un obstacle fixe :
quelle est sa forme ?
Elle est sinusoïdale
L’onde obtenue est-elle progressive ?
Non, l’onde ne progresse pas : elle est "stationnaire".
Quelle est l’influence de la fréquence ?
Ceci a lieu quelle que soit la fréquence. (animation)
L’onde stationnaire possède des points immobiles (qui ne vibrent pas) et d’autres vibrant avec une amplitude maximale. Les repérer sur la simulation. Comment nomme-t-on ces points ?
Les points immobiles sont les nœuds de vibration
Les points vibrant avec une amplitude maximale, sont des ventres de vibration.
Remarque : un nœud de vibration se trouve au niveau de l’obstacle fixe. Si l’obstacle est libre, c’est un ventre qui se trouve au niveau de l’obstacle.
Rappeler la définition de la longueur d’onde l.
On appelle longueur d'onde l la distance séparant deux points consécutifs du milieu de propagation vibrant en phase
Quelle relation lie la longueur d’onde l et la fréquence f de l’onde ?
  . v étant la célérité de l’onde      
Quelle est distance entre 2 nœuds ou 2 ventres consécutifs ?
2 ventres ou 2 noeuds consécutifs sont distants de     


2.Réflexion d’une onde sur 2 obstacles fixes

2.1. Propagation d’une onde non périodique entre 2 points fixes

L’onde se réfléchit en O et en O’ .

Au bout de combien de temps Dt l’onde redevient-elle identique à elle-même ?
L’onde fait un aller et retour à la célérité v.
Donc      

 2.2.  Propagation d’une onde sinusoïdale entre 2 points fixes

 
Dans le cas général, l’onde, de période T, doublement réfléchie est-elle identique à l’onde incidente ? Quel est alors l’aspect de la corde ?
Dans le cas général, l’onde doublement réfléchie n’est pas identique à l’onde incidente. Donc un grand nombre d’ondes se superposent et la corde a un aspect brouillé et instable.
A quelle condition l’onde, de période T, doublement réfléchie est-elle identique à l’onde incidente ?  
Il faut que Dt soit un multiple de T, soit : Dt = k T.   
En déduire une relation entre la longueur L de la corde et la longueur d’onde l.
     
A quelle condition obtient-on une onde stationnaire entre les 2 points fixes ?
Une onde stationnaire n’est possible entre 2 points fixes que si la distance entre ces points est multiple de la demi longueur d’onde; les 2 points fixes sont des nœuds de vibration.
Quelles fréquences permettent l’obtention d’une onde stationnaire ?
Donc on n’obtient des ondes stationnaires que pour les fréquences fk telles que : 
( on retrouve la quantification des fréquences)

Conclure.
Si une corde, fixée à ses 2 extrêmités,  est excitée sinusoïdalement à une fréquence f, il n'apparaît une onde stationnaire que si f est égale à une fréquence propre fk  de vibration.
Les extrémités de la corde sont des nœuds de vibration.
Il se forme k fuseaux de longueur  


3. Etude expérimentale d'ondes stationnaires

Le but de ce paragraphe est de vérifier expérimentalement la relation (1) :

v est la vitesse de propagation de l’onde : elle ne dépend que du milieu de propagation.

3.1 Ondes stationnaires le long d’une corde tendue entre 2 points fixes

Dans cette expérience, fk est fixée ( c’est la fréquence du vibreur ) et on fait varier L (longueur de la corde).


1)  Caractéristiques de l’onde stationnaire

Placer une masse marquée m de 20 g à l'extrémité de la corde.
Faire varier la longueur L de la corde en déplaçant un support afin d'obtenir k =1 fuseau.
En déduire la valeur de l . En déduire la valeur de v. ( f= 50 Hz)
Recommencer avec un nombre de fuseaux k= 2 ….
nombre de fuseaux k 1 2 3 4
longueur de corde L (cm) 35 70 105 135
l (cm) 70 70 70 67.5
v (m/s-1) 35 35 35 33.7

Qu’observe-t-on ?
v est constante. C'est normal car elle ne dépend que du milieu ( corde)
l est constante également.
Ces 2 grandeurs sont caractéristiques de l'onde stationnaire.
Conclure.
La vitesse v a été calculée à l'aide de la relation (1) qui est bien vérifiée.  
 

2) Influence des paramètres du dispositif sur le nombre k de fuseaux 

La célérité v de l’onde qui se propage le long d'une corde est liée à sa tension F et à sa masse linéique µ:        relation (2)
(la tension F est déterminée par la valeur de la masse m accrochée à la corde.)
Quels paramètres peut-on faire varier (la fréquence étant fixée à f = 50 Hz)?
On peut faire varier la longueur L , la tension F  et la masse linéique µ de la corde. 

 1er paramètre : longueur de la corde

que peut-on déduire du tableau précédent pour l et m constants ?
si l est constant, on voit que plus L est grand, plus le nombre de fuseaux k est important
(cela correspond bien à la relation (1): ) 

2ème paramètre : tension F de la corde 

Prendre comme longueur de corde la longueur L trouvée dans le tableau précédent pour m = 20g et 2 fuseaux.
Faire varier la valeur de la masse m et conserver L constante. Noter le nombre de fuseaux obtenus.

L (cm) 70
m (g) 80 20 10 5
k 1 2 3 4

8.9 8.9 9.5 8.9
     

D’après la dernière ligne du tableau, on voit que la relation = cste est ( aux erreurs de mesure près! ) vérifiée.
Cela vérifie les relations (1) et (2), puisque  :
 
 

3ème paramètre : masse linéique µ de la corde

L’expérience est réalisée au bureau du professeur avec 2 cordes, l’une de masse linéique µ et l’autre de masse linéique µ’, avec µ’ = 4 µ
La longueur de la corde étant fixée à environ L = 1 m, la masse suspendue étant m = 200g
Que se passe-t-il si la corde est remplacée par celle de masse linéique µ’, tout en conservant L, m, f ?
Avec la corde de masse linéique µ’ = 4 µ, on observe 2 fuseaux. Avec la corde de masse linéique µ, on observe 1 fuseau.
Encore une fois, ceci vérifie la relation (1), car : 
pour la corde de masse linéïque µ :
 
pour la corde de masse linéïque µ' :
Animation sur les ondes stationnaires le long d'une corde ( "corde de Melde")

3.2 Ondes stationnaires dans une colonne d’air

Le but de ce paragraphe est de vérifier expérimentalement la relation (1) :
v est la vitesse de propagation de l’onde : elle ne dépend que du milieu
k est le nombre de fuseaux
fk est une préquence propre ( pour laquelle il y a onde stationnaire)

Le micro est sensible à une pression.

1) Etude expérimentale dans un tube ouvert aux 2 extrémités:

Placer le micro à l’entrée du tube et rechercher, à l’oscilloscope, la fréquence f4 du quatrième harmonique.        
On augmente progressivement la fréquence et on contrôle à l'oscilloscope.
La première fréquence pour laquelle on obtient une sinusoïde d'amplitude importante est f1 ( fondamental)...en augmentant, on trouve le quatrième harmonique: f4 = 588 Hz
vérifier que 


La longueur du tube est     et la vitesse de propagation du son dans l'air est environ 340m.s-1.
donc :    
En déplaçant le micro dans le tube, déterminer les positions des ventres et des nœuds de pression. 
Observation : En déplaçant le micro dans le tube, on constate que l’amplitude du signal présente des maxima et des minima. Or, le micro est sensible à une pression.
Les extrêmités ouvertes sont des noeuds de pression.
Remarque : un noeud de pression correspond à un ventre de vibration et réciproquement
(voir  animation  sur un tuyau sonore)
( dans le schéma ci-contre, sont représentés les noeuds et ventres de vibration)
Pour un mode propre de fréquence fk, la longueur du tube est  

  En déduire la valeur de la longueur d’onde l.
Distance entre 2 ventres consécutifs : 34 cm
Donc la longueur d'onde : l= 2× 34 = 68 cm  
 
Lorsqu’une colonne d’air vibre selon l’un de ses modes propres, elle est le siège d’une onde stationnaire présentant une alternance de nœuds et de ventres de pression.
2 ventres (ou nœuds) consécutifs sont séparés d’une distance de  

   

2) Cas d’un tube fermé à l’une de ses extrémités :

Un ventre de vibration ( = un nœud de pression ) se trouve à l’extrémité ouverte et un nœud de vibration à l’extrémité fermée. 

Pour un mode propre de fréquence fk, quelle est l’expression de la longueur L du tube en fonction de k et l?
( dans le schéma ci-dessous, sont représentés les noeuds et ventres de vibration)
Ici on a l’amorce de 3 fuseaux ( f3 ) :  L = 2,5 l/2              
De façon générale : 
Quelle est la valeur de la fréquence f1 du mode fondamental en fonction de L?


or,  d'après la relation 1() : 
 

 3)Tube de Kundt : (August Kundt, physicien allemand, 1839-1894)

Dans un tube transparent PA, on dépose une poudre fine et légère.

Un piston mobile P permet de modifier la longueur de la colonne d’air du tube. Un piston en A, obturant pratiquement le tube sans toucher les parois, est placé de sorte que M soit le milieu de la tige métallique AT.

Par frottement sur cette dernière, on produit des ondes longitudinales progressives en déplaçant légèrement ses extrémités. L’air est mis en vibration par le piston A.

Un système d'onde stationnaire s'établit. La poudre est sensible à cette vibration et, lorsqu'on ne frotte plus la tige, on observe des petits tas de poudre (cela est réalisé en réglant la position de P).

A quoi est dû le son que l’on entend ? 
Le son est produit par la vibration de l’air de la colonne comprise entre les pistons A et P.

Que matérialisent ces petits tas de poudre ?
Ils correspondent aux sections de la colonne d’air ne vibrant pas c’est-à-dire à des nœuds de vibration (la poudre qui se trouve aux ventres de vibration est projetée vers les nœuds où elle s’accumule).    





 
Animation : onde sonore dans un tuyau d'orgue